+ 
+ 
+ 
= 
+
+
+
=
若\( \left( {k,m} \right) = 1 \)，则\[ k^{\phi \left( m \right)} \equiv 1\left( {\bmod m} \right) \] 式中\[ \phi \left( m \right) \] 为欧拉函数．
若p为素数，则对所有整数a，有 \[ a^p \equiv a\left( {\bmod p} \right) \] 也可写作： \[ a^{p - 1} \equiv 1\left( {\bmod p} \right) \] 显然费马定理是欧拉定理的特例．
设\( a_1 ,a_2 , \cdots a_{\phi \left( m \right)} \)构成m的一缩剩余系，若\( \left( {k,m} \right) = 1 \)，则\[ ka_1 ,ka_2 , \cdots ka_{\phi \left( m \right)} \]这\( \phi \left( m \right) \)个数都与m互素，对于其中任意两个\( ka_i \)和\( ka_j \)，这两个数的差为\( k\left( {a_i - a_j } \right) \)，显然这个数不能被m整除，所以\( ka_i \)和\( ka_j \)对m不同余，因此\( ka_1 ,ka_2 , \cdots ka_{\phi \left( m \right)} \)构成一缩剩余系．因此有 \[ a_1 a_2 \cdots a_{\phi \left( m \right)} \equiv ka_1 ka_2 \cdots ka_{\phi \left( m \right)} \equiv k^{\phi \left( m \right)} a_1 a_2 \cdots a_{\phi \left( m \right)} \left( {\bmod m} \right) \] 再由同余性质5°，得到\[ k^{\phi \left( m \right)} \equiv 1\left( {\bmod m} \right) \]