十、微分的应用（I）— 函数的极值

1．单变量函数的极值

[极值（极大值或极小值）]若函数f (x)在点x₀的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域0<|x-x₀|<δ内的一切点x，下面不等式成立：

f (x)< f (x₀)     (或f (x)> f (x₀))

则称函数f (x)在点x₀处有极大值（或极小值）.

[极值存在的必要条件]假定函数f (x)在区间(a,b)内存在有限导数.若在点x₀(∈(a,b))处函数有极值，则必有

=0                                             (1)

所以可微函数的极值只能在使(1)式成立的点达到，这种点称为稳定点.

[极值存在的充分条件]

第一法则 若函数f (x)满足条件：（i）在点x₀的某邻域|x-x₀|<δ内有定义并且连续，且在点x₀处，=0或不存在，（ii）在范围0<|x-x₀|<δ内有有限的导数，（iii）在点x₀的左右两侧有固定的符号，则函数f (x)在点x₀有无极值见下表：

x	x < x0	x 0	x> x0	f (x)
	+ — + —	0	— + + —	极大值 极小值 上升 下降

第二法则 若函数f (x)有二阶导数,并且在点x₀处下列条件成立：

=0及≠0

则函数f (x)在此点有极值，当<0时，有极大值；当>0时，有极小值.

第三法则 设函数f (x)在某邻域|x-x₀|<δ内有导数,，且

=0         （k=1,）

≠0      

若n为偶数，则函数f (x)在点x₀处有极值（当<0时有极大值，当>0时有极小值）;若n为奇数，则在点x₀处无极值.

以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程

=0

的实根.有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，§4.

2．多变量函数的极值

[极值(极大值或极小值)]  设函数

y= f (x₁,x₂,)= f (x)

定义于区域D中，且x⁰=()是这区域内的一点.

若点x⁰有一个邻域

0<||<δ,i=1,2,

使对于其中一切点，下面不等式成立：

f (x)< f (x⁰)     ( 或f (x)> f (x⁰))

则称函数f (x)在点x⁰处有极大值（或极小值）.

[极值存在的必要条件]  假定函数f (x)在区域D内存在有限偏导数.若在点x⁰(∈D)处函数有极值，则必有

（2）

所以极值只能在使（2）式成立的点达到，这种点称为稳定点.

[极值存在的充分条件(二元函数的情形)]  设点x⁰=（）为函数y= f (x₁,x₂)的稳定点，并且函数f (x₁,x₂)在稳定点x⁰的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号

，k = p₁+p₂

上指标“0”表示偏导数是在x⁰计算的.记

D₁=,D₂=

那末（i）稳定点x⁰是极小点的充分条件是：

D₁>0  和 D₂>0

即 >0  和 >0

（ii）稳定点x⁰是极大点的充分条件是：

D₁<0  和 D₂>0

即 <0  和 >0

若D₂<0，则x⁰不是极值点，当D₂=0时不能肯定x⁰是否极值点，必须考察更高阶的偏导数.

[极值存在的充分条件(一般情形)]  设点x⁰=()为函数y= f (x)= f (x₁,x₂,)的稳定点，并且函数f (x)在稳定点x⁰的邻域内有定义，连续，并有一阶及二阶连续偏导数.引进记号

k =

上指标“0”表示偏导数是在x⁰计算的.定义行列式D_i为

D_i

对n个变量依次计算n个行列式D₁,D₂,…,D_n.那末

（i）稳定点x⁰是极小点的充分条件是：所有的行列式都是正的，即

D_i>0,  i=1,2,

（ii）稳定点x⁰是极大点的充分条件是：所有标号为偶数的行列式是正的，所有标号为奇数的行列式是负的，即

D_i<0,  i=1,3,

D_i>0,  i=2,4,

如果上列两条件都不满足，那末稳定点可以不是极值点.如果所有的D_i都是零，就必须考察更高阶的偏导数.

3．约束条件为等式的条件极值

求函数

y = f (x),  x=(x₁,x₂)

在m(m<n)个约束条件

g_k(x)=0,  k =1,2,

下的极值.

[直接代入法]  从约束条件的m个方程中将其m个变量解出，用其余n-m个变量表示，然后直接代入函数中去，这样就变为一个求n－m个变量的函数的无约束条件的极值问题.如果从约束方程能够将m个变量解出，这个方法是可行的.

[拉格朗日乘数法]  引进修正的系数

F=y+

式中λ_k为待定常数.把F当作n+m个变量x₁,x_n和λ₁,λ₂,的无约束的函数，对这些变量求一阶偏导数得稳定点所要满足的方程：

， i =1,,n

g_k=0,      k =1,2,

例1  求函数

y =

在约束条件

2x₁+3x₂=6

下的极值.

解 由于

y =

和 g =2x₁+3x₂－6=0

可知修正的函数为

F = ()+λ(2x₁+3x₂－6)

解方程组

得 λ＝，x₁=,x₂=

所以函数F的稳定点为

x₁=,         x₂=

由于 D₁== 8 >0

D₂==80>0

这是一个极小点，函数y的极小值为.

［惩罚函数法］ 在搜索极小点时引进修正函数

F = y+                                          (1)

式中P_k是任意大的正整数，称为惩罚函数.这样就可把问题化为新函数F的无条件极值问题，可以用不断增大P_k的数值来极小化.也可引进如下形式的新函数

F = y+

式中P_k是任意大的正整数.

对搜索极大点时，惩罚函数前取负号，即引进新函数

F = y－

或 F = y－

例２　用惩罚函数法解例１.

解　利用方程（1）引进修正函数

F = y+P(g)²=

解方程组

得 x₁=x₂，x₂=

当P很大时，x₂趋于，x₁趋于，这就是稳定点.由于

D₁==8(1+P)>0

D₂==16(5+14P)>0

所以稳定点是一个极小点，这和例1的结果一致.

4．约束条件为不等式的条件极值

比前面所考虑的更一般的极值问题是求函数

y =f (x)，x = (x₁,x₂,…,x_n)

在m个约束条件

g_k(x)，k =1,2,…,m

下的极值问题，这里的m不必小于n.

[松弛变量法]  对每一约束不等式都引进一非负的松弛函数S_i, 将它变为等式：

=g_i+S_i=0

每一松弛函数S_i仅依赖于一个松弛变量x_n+i,一般取

S_i=

引进松弛函数后就把问题化为约束条件是等式的极值问题，前面的方法就可以应用了.

例3 求函数

y =

在约束条件

x₁

下的极值.

解 约束条件可写为

g₁=1- x₁

利用松弛函数S₁(x₃)可将这个不等式约束化为等式

=g₁+S₁=x₁+=0

利用直接代入法可在函数y中将x₁消去得到

y=4(1+)²+5

这是一个无约束问题.

稳定点是x₂=0,x₃=0,所以x₁=1.由于

D₁==10>0

D₂===160>0

所以稳定点是修改后的以及原来的函数的极小点，其极小值为4.

[拉格朗日乘数法]  引进松弛函数后，将约束不等式化为等式

=g_k+S_k(x_n+k)=0,      k=1,,m

同等式约束的情形一样，引进新的目标函数

F=y+

这是一个n+2m个变量的无约束问题.稳定点可以由解下列方程组得到

=0， j=1,,(n+m)

=0,    k=1,,m

以上介绍的多变量函数的极值和条件极值求法中，求稳定点时最后都归结为求实函数方程组

f_I (x₁,,x_n)=0,  i=1,,n

的一组实根.有时上列方程组的实根不易求得，要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，§4.

十一、微分的应用（II）—曲线的性状与作图

1、曲线的性状及其条件

2、奇点

设 P₀(x₀,y₀)是曲线

F(x,y)=0

上的一点，假定函数F(x,y)在点P₀有连续的偏导数，并且满足条件

（x₀,y₀）=0,(x₀,y₀)=0

则称P₀是曲线F(x,y)=0的一个奇点.

如果函数F(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的二阶偏导数不全为零，那末称P₀为曲线的一个二重点.设

a=,b=,c=

则根据判别式的符号在二重点中又可分出如下几种类型的奇点.

名称与图形	条件与性质	举 例
结点	(i)<0 (ii)曲线有两支通过点P0，且具有不同切线	双纽线 是以原点(0,0)为其结点
孤立点	(i)>0 (ii)在点P0的充分小的邻域里，除了点P0外，没有曲线上其他的点.	曲线 的轨迹是由直线x=1和原点(0,0)组成的，原点就是它的一个孤立点
第一种尖点 名称与图形	(i) (ii)曲线由两支组成，在点P0有公共切线，这两支在其公共法线的同侧，而在公共切线的异侧. 条件与性质	半立方抛物线 是以原点(0,0)为其第一种尖点 举 例
第二种尖点	(i) (ii)曲线由两支组成，在点P0有公共切线，这两支在其公共法线的同侧，又在公共切线的同侧.	曲线 在原点的邻近有两支，即 它们在原点有公共切线，由于0<x<1,y总取正值，所以曲线在原点的邻近的两支都在公共切线和法线的同侧
自切点	(i) (ii)曲线由两支组成，而彼此在点P0相切	曲线 由两条抛物线 组成，它们在原点彼此相切

如果曲线由参数方程

x = x(t), y = y(t)

图5.9

表示，那末当=0，=0时，由参数t₀确定的点(x(t₀), y(t₀))是曲线的奇点.

特别，曲线由极坐标方程

表示，那末当==0时，点(,)是曲线的奇点.例如双曲螺线当∞时，=0，所以极点是奇点.当极角增大到无穷时，曲线上的点无限逼近于极点，但又不能达到（图5.9），所以这种奇点又称为渐近点.

3、 渐近线

曲线存在渐近线的条件及渐近线方程

曲线方程	条 件	渐进线方程
F(x,y)=0	将F(x,y)的最高次数各项之和用表示，解方程=0，得 x=，y= 时， 时， 将y = kx+b代入F(x,y)后按x的幂次展开： F(x,kx+b)= 解联立方程 得到k,b,即为渐近线的斜率和纵截距	x = a y = b y=kx+b
y=f (x)	， 时，(或时，) 时，(或时，)	y=kx+b x=a y=b
	， ， ， ，	y=kx+b x=a y=b
	，

4、作图

作函数

y = f(x)

的图形的步骤大致有以下几点：

（1） 确定自变量x的改变区间，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等；

（2）确定曲线与坐标轴的交点；

（3）确定曲线的顶点（极大点、极小点）；

（4）确定曲线的凸部，凹部与拐点；

（5）确定曲线的渐近线；

（6）描点作图.

当然，具体问题要具体分析，以上几点不一定都要讨论.

例 画曲线

y=

(1) x可以在区间(－∞,∞)上改变，不对称，也无奇偶性和周期性.

(2) 让x=0,得到y=；让y=0,得到x=3；就是，曲线与坐标轴交于点(0,),(3,0) (图5.10).

(3) 求出一阶与二阶导数,,得到顶点(3,0)(极小点)和

(－1,－2)(极大点).

(4) 二阶导数当x>1时为正，当x<1时为负.因此，在区间(1, ∞)内曲线是凹的，在区间(-∞,1)内曲线是凸的.因为只当x=1时变号，而x的这个值对应于一条平行于y轴的渐近线，所以没有拐点.

(5) 当x=1时，y成为无穷大，于是这曲线有一条渐近线x=1.

再求不平行于y轴的渐近线.

图5.10

k=

b=

所以 y=

是一条不平行于y轴的渐近线.

由这些性质描出曲线（图5.10）.