二、群

    [群的定义与例子]  设G不是空集（见第二十一章，§1，一），对G给定一个代数运算，若在之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：

（i） G在之下是封闭的，即对每一对元素，则有唯一确定的元素，且.

（ii） G在之下是可结合的，即对任意，有
                   

（iii） 在G中有一元素e，对任一，满足
                   

（iv） 对任一，都有一个，满足
                   

条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的称为的逆元.

注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元），使（或），对任意成立. 因为由此推出. 因此，群中单位元是唯一的. 定义中条件（iv）可改为：每个元有左（或右）逆元，使（或）成立. 因为由此推出，从而也成立. 因此，群中每个元的逆元是唯一的.

若一个群G的乘法可交换，则称G为交换群或阿贝耳群. 特别在加法之下，交换群称为加法群. 在加法群时，改为，逆元改为负元-，单位元称为零元，记作0.

例1            整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群.

例2            非零的实数集对于乘法组成一个群. 正的实数集对于乘法也组成一个群.

例3            一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作.

例4            设Ω是一个平面图形，是平面上一切使Ω不动的正交变换所组成的集，则组成一个群. 通称为图形Ω的对称群.

例5            一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作.

事实上，若任取两个n次置换：

                    

可改写为：


                            


对置换和，规定置换


                           


和它们对应，即为和的乘积，记作
                              
在这个乘法之下，不难推出满足群中规定的条件，因而组成一个群.

例6  非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，§1，二）对于变换的乘法组成一个群，称为集S的全变换群，记作. 的子群称为S上的变换群.

[群的基本性质]

    1o   在群中，对任意元a，b，方程


                              


各有解. 即.
    2o  消去律成立. 即若，则.
    3o  群中一般结合律成立. 即


                         


    4o  交换群中一般交换律成立. 即


                         


式中是的任一排列.

[子群]  设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群.

群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若，则.

任意个子群的交集（见第二十一章，§1，三）是一个子群.

[循环群]  一个元a的一切乘幂的全体组成一个群，称为循环群. 循环群是交换群.

    若序列中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群. 若有相等的元素，即

                          

可推出G为n个元的集，即


                           


这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使的最小正整数.

循环群的子群还是循环群.

[不变子群·陪集·商群]  设H为群G的一个子群，若对每个元, 有


                               


(这里表示g与H中一切元素的乘积，例如），即，则称H为G的一个不变子群（或正规子群）. 和分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集. 因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的.

把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H.

拉格朗日定理  有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数.

G的不变子群H的商群的阶为的阶被的阶除所得的商.

交换群的一切子群都是不变子群.

若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群.

[同构与自同构]  设两个群，若使中任意两元a，b的乘积与中相应元的乘积对应，而且只与这个乘积对应，即

                     

具有这个性质的到上的一对一的对应，称为一个同构，又称与是同构的，记作. 群G到自身的同构称为自同构.

同构有以下性质：

1o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群.

2o同构是一个等价关系，即

 (i) 反身性  ；

 (ii) 对称性  若，则；

 (iii) 传递性  若，，则.

 3o凯莱定理  任一群G都同构于它的元素集的某一变换群.     

[同态与自同态]  有两个群,,与一个映射：. 设，若满足

                          

则称为一个同态. 为的一个同态象，记作~. 群到自身的同态称自同态.

    同态有以下性质：

1o一对一的同态就是同构.

2o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元.

3o假定f是群G到的一个同态，则G中对应于的单位元的一切元素所成的集N是G的一个不变子群. N称为同态f的核，记作.

4o假定群G，同态，则G中对应于的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集.

5o同态基本定理  假定G，同态，群G对N的陪集与的元素之间的一一对应是与商群G/N之间的一个同构. 它表明G的同态象与对应的商群G/N同构.